На какой срок выдают временный побыт в первый раз?

Единого срока нет: закон задаёт срок первого «prechodného pobytu» отдельно для каждой цели (účel) (zákon 404/2011):

• podnikanie (предпринимательство) — 3 года (§ 22 ods. 2);
• zamestnanie (работа) — на предполагаемый срок работы, максимум 5 лет (§ 23 ods. 3); сезонная работа — максимум 240 дней в течение 12 месяцев подряд (§ 23 ods. 4); внутрикорпоративный перевод — до 3 лет для руководителя или специалиста, до 1 года для стажёра (§ 23 ods. 5);
• štúdium (учёба) — на предполагаемый срок учёбы, максимум 6 лет (§ 24 ods. 2);
• osobitná činnosť (особая деятельность: преподавание, искусство, волонтёрство и др.) — на необходимое время, максимум 2 года; профессиональный спорт — на срок контракта, максимум 5 лет (§ 25 ods. 2);
• výskum a vývoj (исследования) — на срок договора о приёме (dohoda o hosťovaní), максимум 2 года (§ 26 ods. 1);
• zlúčenie rodiny (воссоединение семьи) — до конца побыта члена семьи, к которому едут, максимум 5 лет (§ 27 ods. 5);
• Slovák žijúci v zahraničí — 5 лет (§ 29 ods. 2); резидент ЕС из другой страны — максимум 5 лет (§ 30 ods. 2).

Срок, на который у вас подтверждено жильё, на срок побыта не влияет (§ 33 ods. 4). Но карту побыта («doklad o pobyte») выдадут только на срок подтверждённого жилья, если он короче побыта (§ 73 ods. 4).