Может ли семья приехать по визе и ждать решения о побыте в Словакии?

Да, но не по любой визе. По общему правилу заявление на «prechodný pobyt» подают лично в посольстве Словакии (zastupiteľský úrad) за границей (§ 31 ods. 1 zákona 404/2011). Подать его в Словакии, в полиции по делам иностранцев (policajný útvar), можно только в случаях из § 31 ods. 3 — например, если член семьи:

• находится в Словакии по национальной визе («národné vízum», § 15);
• гражданин страны, для которой виза не требуется;
• имеет в Словакии «dočasné útočisko» (временное убежище);
• находится здесь по действующему разрешению на пребывание по специальному предписанию или по tolerovanému pobytu (§ 58 ods. 1 písm. a)–c) или ods. 2).

Национальную визу могут выдать, в частности, для подачи заявления о побыте — на 120 дней (§ 15 ods. 1 písm. b), ods. 3 písm. a)). Обычная шенгенская виза в списке § 31 ods. 3 есть только для сезонной работы, не для воссоединения семьи.

Если в полицию подано полное заявление, иностранец вправе оставаться в Словакии до решения (§ 31 ods. 4). Решение — как правило, до 90 дней (§ 33 ods. 8 písm. a)); если заявление члена семьи, к которому едут, ещё не решено, производство могут приостановить (§ 33 ods. 5).

Важно: обладатель национальной визы, выданной для подачи заявления, не может подать в полиции заявление на иную цель, чем заявлял при получении визы (§ 31 ods. 6 písm. c)).