Можно ли подать заявление на побыт, находясь в Словакии?

Да, но не всем. Первое заявление на «prechodný pobyt» по общему правилу подают лично в посольстве СР за рубежом (§ 31 ods. 1 zákona 404/2011). Лично в полиции в Словакии его можно подать, если вы (§ 31 ods. 3):

• находитесь в СР по действующему разрешению на пребывание, по «tolerovaný pobyt» (§ 58 ods. 1 písm. a)–c) или ods. 2), по национальной визе (§ 15) или по шенгенской визе для сезонной работы — если подаёте на сезонный побыт по § 23 ods. 4;
• гражданин страны, которой не нужна виза;
• получили временное убежище («dočasné útočisko»);
• держатель «osvedčenie Slováka žijúceho v zahraničí».

Исключения (§ 31 ods. 6): в полиции нельзя подать на побыт для предпринимательства (§ 22) и на внутрикорпоративный перевод (§ 23 ods. 5). Также нельзя подать, если у вас национальная виза для подачи заявления, а цель другая, чем при получении визы; исключение — учёба, особая деятельность и исследования (§ 24–26).

«Trvalý pobyt na päť rokov» в полиции можно подать при похожих условиях (§ 44 ods. 1). Заявления на trvalý pobyt на неограниченное время и «dlhodobý pobyt» подают в полиции (§ 47 ods. 1, § 53 ods. 1). «Modrú kartu» можно запросить в полиции, если вы находитесь в СР законно (§ 38 ods. 1). Обращаться нужно в отделение по месту пребывания или предполагаемого пребывания (§ 125 ods. 1).